第十一期理解未來講座開講：龐加萊猜想與幾何

新浪科技訊 12月22日消息，未來論壇第十一期“理解未來”講座在北京國際數學研究中心開講。中國科學院院士、美國普林斯頓大學數學系Higgins講座教授田剛從幾何學角度講述了數學史上最艱難的課題之一——龐加萊猜想的歷史、意義和影響。

在當今社會，我們常常聽到各種各樣的“數學無用論”，甚至有人調侃：只要會個加減法，夠買菜算賬就行了。然而講座甫一開場，田剛教授便向大家傳遞出一個重要信息：數學是有用的。“整個數學發展的過程對人的思維、對自然和真理的追求都是非常重要的事”。 在古希臘，學習幾何被認為是尋求真理的最有效的途徑。毫無疑問，數學及數學家對人類文明的進步做出了不可磨滅的貢獻，被譽為“最后一位數學全才”的龐加萊也不例外。

一位數學史家曾經如此形容1854年出生的亨利？龐加萊：“有些人彷彿生下來就是為了證明天才的存在，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。”時至今日，龐加萊已經被公認是19世紀末和二十世紀初具有領袖地位的數學家，他在數學方面的傑出探索對20世紀和當今的數學有極其深遠的影響。

龐加萊於1904年提出——任何一個封閉的三維空間，只要它裏面所有封閉曲線都可以收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。此后，龐加萊猜想就和黎曼假設、霍奇猜想、楊？米爾理論等被並列為七大數學世紀難題。本世紀初，美國克雷數學研究中心宣佈為這七大難題懸賞百萬美元求解。

龐加萊猜想最終的解決依賴於微分幾何和分析的方法，最重要的工具是R.Hamilton提出的裏奇曲率流。R. Hamilton證明了裏奇曲率流的許多基礎性結果，並給出了解決Thurston三維流形幾何化猜想的綱領。他也解決了龐加萊猜想的一些特別情形，但他無法克服一些關鍵技術問題。有趣的是，普林斯頓大學與龐加萊猜想有很深的淵源。無論是嘗試過而未成功的數學家中，還是對最終解決做出突出貢獻的數學家中，許多都在普林斯頓大學工作或學習過，如J. Whitehead，Papakyriakopoulos,R.Hamilton等等。

直到2002年，俄羅斯數學家佩雷爾曼解決了這個重大猜想。佩雷爾曼的證明，用到了過去50年甚至更長時間微分幾何中的許多重要進展，但最終解是他完成的，他的解中間牽涉到很多數學家的工作，包括非負曲率空間的分類，黎曼幾何的緊性理論，熱傳導方程的Harnack型估計，曲率下方有界空間的塌縮理論，極小曲面理論等等。當年《科學》雜誌以“本年度科學最大突破”之名承認了他的成就，隨后，菲爾茲”也授予給了佩雷爾曼，然而，他的舉動驚動世人———他竟然拒領取這個數學界的諾貝爾獎。理由很簡單，“這個和我沒有關係。如果證據是正確的，每個人都能理解它，那麼也不需要什麼肯定。”

佩雷爾曼的驚世駭俗令人神往，而歐幾裏得、高斯、黎曼、龐加萊、這些數學史上的明星也在田剛教授的娓娓道來中熠熠生輝。“數學是非常有用的，只不過有些研究成果暫時還沒有得到實際應用”。田剛教授直白質朴的言語讓我們再一次認識到了數學作為自然科學基礎的重要性。

愛因斯坦曾：“純粹數學，就其本質而言，是邏輯思想的詩篇。”數學不僅不枯燥無聊，而且充滿美感，然而這美感只有少數幸運兒才能體味。在北京最美的季節，於神聖的學府匯聚一堂，共同聆聽這美妙的詩篇，我們有理由相信，我們都是那少數幸運兒中的一員。