金色財經
黎曼猜想被認為是數學界最重要的未解難題之一，它關繫到素數在整數中如何分布。
160多年來，數學家不斷逼近這個問題，卻始終無法證明猜想成立。
2026年10月6日，OpenAI公布的一批數學研究成果中，一項關於准黎曼猜想的證明引起了數論學家的高度關注。
斯坦福大學數學家傑瑞德·杜克爾·利希特曼（Jared Duker Lichtman）稱，這是迄今為止最重要的人工智慧數學成果，而且領先幅度相當大。
更出人意料的是，這項證明並沒有引入全新的數學概念，而是找到了舊理論之間一條此前被忽視的聯繫。
在《量子雜誌》（Quanta Magazine）10月19日的一篇文章中，科學撰稿人康斯坦丁·卡卡斯（Konstantin Kakaes）追蹤了該領域的最新進展。
《量子雜誌》（Quanta Magazine）文章截圖
劃重點：
距離完整的黎曼猜想仍有差距，但數學後果可能十分廣泛。 准黎曼猜想的證明將為數論、幾何學和理論計算機科學中的大量結果提供新的依據。
突破來自舊工具的新組合。 AI找到了一個此前被忽略的函數族，並將多種已有數論方法連接起來。
這次成果已開始接受數學家的實質性檢驗。 專家正在重寫和梳理證明，普遍認為較短版本的結論正確，但完整的黎曼猜想依然遙遠。
素數是只能被1和自身整除的正整數，例如2、3、5、7和11。它們是整數算術的基本構件，但在數軸上並不是均勻分布的：隨著數字不斷增大，素數出現得越來越稀疏。
數學家早已知道這種總體趨勢。更難的問題是，素數究竟以怎樣的速度變得稀疏，又會在平均規律周圍產生多大的偏差？
1859年，德國數學家波恩哈德·黎曼提出了一個後來以他命名的猜想。它研究的對象看似是一種抽象的數學函數，卻與素數分布有著深刻聯繫。
這個函數叫作黎曼ζ函數，通常寫作ζ(s)。它可以從一個熟悉的無窮級數出發：
ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ⋯
這裡的變量s是複數，由實部和虛部組成。通過數學上的解析延拓，這個函數可以擴展到原始級數不再直接收斂的區域。
(圖源：Mark Belan/Quanta Magazine）
黎曼猜想關注的是：在什麼位置，ζ函數的值會等於零？
函數在負偶數處的零點，例如−2、−4和−6，被稱為平凡零點。除此之外的零點叫作非平凡零點。黎曼猜想斷言，所有非平凡零點的實部都等於1/2。
換句話說，如果把複數看作平面上的點，所有非平凡零點都應該落在實部為1/2的一條豎直線上。
(圖源：Mark Belan/Quanta Magazine）
這條看似狹窄的數學約束，能夠告訴數學家有關素數分布的大量資訊。
ζ函數與素數之間的聯繫並非黎曼首次發現。
1737年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）證明，在適當的定義範圍內，ζ函數可以寫成一個由所有素數構成的無窮乘積：
ζ(s) = ∏ 1/(1 − p^(−s))
其中，p遍歷所有素數。這個公式將一個函數與全部素數直接聯繫起來，成為解析數論的重要基礎。
1896年，數學家雅克·阿達馬（Jacques Hadamard）和夏爾·讓·德·拉·瓦萊·普桑（Charles-Jean de la Vallée Poussin）分別證明，ζ函數的非平凡零點不可能位於實部為0或1的兩條邊界線上。結合此前的研究，他們由此證明了素數定理。
素數定理給出了素數數量隨數值增長的大致規律。它告訴我們，在足夠大的範圍內，小於某個數x的素數數量大約為：
π(x) ≈ x / ln x
這裡的π(x)表示不超過x的素數數量，ln x是自然對數。
但知道平均規律還不夠。數學家還想知道，實際的素數分布會偏離這個平均規律多少。
如果黎曼猜想成立，數學家就能對這種偏差給出更強的控制。反過來，如果哪怕只有一個非平凡零點偏離實部為1/2的直線，也可能意味著素數分布存在此前未曾預料到的複雜結構。
目前，數學家已經通過數值計算驗證了前12萬億個非平凡零點都位於這條直線上。但無論計算規模多大，都不能替代對全部零點的證明。
這也是黎曼猜想至今仍然懸而未決的原因之一。它不僅是一道關於函數的題目，更是一扇通往素數深層規律的窗口。
准黎曼猜想（quasi-Riemann hypothesis）是黎曼猜想的一個弱化版本。
完整的黎曼猜想要求所有非平凡零點的實部恰好等於1/2。准黎曼猜想則放寬了要求：只要能夠證明所有非平凡零點都位於一個比實部介於0和1之間更窄的豎直區域內，就能取得進展。
區域越窄，對素數分布的約束就越強。因此，即使沒有把零點全部鎖定在1/2這條線上，縮小零點可能出現的範圍也具有重要的數學價值。
OpenAI在2026年10月6日公布的數學成果中，給出了准黎曼猜想的兩個證明版本。
第一個版本完成於9月30日，聲稱所有非平凡零點的實部都介於1/8和7/8之間。這個版本長達199頁，並使用Lean編程語言進行了形式化驗證。
第二個版本在近一周後完成，篇幅只有49頁。它證明的結論相對較弱：所有非平凡零點的實部都介於1/12和11/12之間。不過，截至原報導發表時，這個版本尚未完成形式化驗證。
兩個版本的界限不同，但研究人員認為，它們採用了相似的技術路線，也具有相近的數學意義。
為什麼數學家反而更關注結論較弱的第二個版本？
紐約大學數學家馬克西姆·拉濟維洛夫（Maksym Radziwiłł）解釋，主要原因是它更短，更便於理解和檢驗。
這也引出了這項AI成果面臨的一個關鍵問題：計算機給出的證明，究竟能否被人類數學家真正理解？
在最近一輪AI數學成果中，機器生成的證明常常面臨一個共同問題：即使結論可能正確，證明文本也難以閱讀，缺乏數學論文應有的清晰度和表達規範。
拉濟維洛夫在接受《量子雜誌》採訪時，對OpenAI的兩篇論文提出了尖銳批評。他認為，兩篇論文的寫作質量都很差，按照數學期刊的標準，很可能會立即被拒稿。
但證明的表達問題並不意味著結論必然錯誤。數學家需要做的是獨立檢查推導過程，確認每一步是否成立，並弄清楚整個證明為何有效。
為此，普林斯頓大學著名數論學家彼得·薩納克（Peter Sarnak）決定調整自己本學期所講授的一門課程，將研究重點轉向這項證明。
拉濟維洛夫表示，他現在已經能夠用半頁紙勾勒出證明的主要論證。其他數學家整理出的較詳細版本則有7至13頁。截至原報導發表時，這些整理稿尚未正式發表，但已在研究人員之間私下流傳。
這種壓縮並不只是為了縮短篇幅。它意味著數學家正在嘗試從AI生成的大量文字中，提煉出真正起作用的數學結構。
參與研究的專家大體認同，較短版本的結論是正確的。接下來需要理解的，是為什麼這套論證能夠成立，以及它究竟揭示了哪些此前未被充分認識的聯繫。
這項證明最值得關注的地方，可能並不在於它用了某種全新的數學工具，而在於它找到了正確的研究對象。
數十年來，薩納克一直主張，研究黎曼猜想時，不應只盯着ζ函數本身，還應該把它看作一個更廣泛的函數族中的成員，再嘗試證明適用於整個函數族的結論。
但具體應該選擇哪個函數族，始終不夠明確。
滑鐵盧大學數學家邁克爾·魯賓斯坦（Michael Rubinstein）在接受《量子雜誌》採訪時指出，薩納克的思路很有洞察力，但此前一直沒有人清楚地知道應該怎樣落實，也不確定哪一個函數族最值得研究。
OpenAI的模型找到了一個此前被忽視的函數族。
這項選擇並非完全沒有先例。羅格斯大學數學家亨里克·伊瓦涅茨（Henryk Iwaniec）曾在2002年試圖證明黎曼猜想時，識別出若干彼此密切相關的函數族，但最終與這次研究所需的對象失之交臂。
而OpenAI模型找到的函數族涉及一種較為冷門的數學對象——亞辛形式（metaplectic forms）。
佐治亞理工學院數學家亞歷山大·鄧恩（Alexander Dunn）過去五年一直在研究這類對象。他對《量子雜誌》表示，沒人預料到它們會在這一問題上發揮如此關鍵的作用。他也希望，這套精深而相對冷門的理論能夠因此獲得更多關注。
這意味著，AI的貢獻並不是憑空創造一套新的數學語言，而是在龐大的既有知識體系中，識別出一個此前沒有被充分利用的切入點。
馬克西姆·拉濟維洛夫（Maksym Radziwiłł，上）和亞歷山大·鄧恩（Alexander Dunn）驚訝地發現，OpenAI 最近對準黎曼猜想的證明使用了他們多年前開發的技術。（圖源：Caltech）
更出人意料的是，這項證明還用到了鄧恩和拉濟維洛夫在2021年證明的一個公式，以及其他數論學家的大量既有成果。
在此之前，相關領域的數學家普遍認為，手頭的方法不足以證明准黎曼猜想。他們傾向於相信，解決這個問題需要藉助數論中另一個分支的技術。
但OpenAI模型找到的證明表明，現有工具可能已經足夠，只是它們之間的聯繫尚未被發現。
拉濟維洛夫承認，回過頭看，他們對自己所用方法的能力判斷有誤。他形容，模型表現出的那種相信現有工具可能足以解決問題的傾向，是一個相當大膽的判斷。
鄧也將這項證明描述為對一系列著名數學思想的意外綜合。
這裡的關鍵，是數學研究中的一個常見難點：研究人員不僅要掌握大量定理，還要判斷哪些定理能夠放在一起，哪些看似不相關的對象實際上共享着某種結構。
一個工具是否足夠強，有時並不能僅從它單獨能做什麼來判斷。只有找到正確的研究對象，並把不同的工具連接起來，它的能力才可能顯現出來。
AI在這項工作中展示的，正是這種組合已有知識、尋找隱藏聯繫的能力。
對於OpenAI的成果，數學家既感到興奮，也有明顯的保留。
普林斯頓大學的薩納克表示，在人類檢查並理解所有細節之前，他還不會滿足於把它視為一條已經確立的定理。
拉濟維洛夫則認為，整體反應更多是如釋重負。原因在於，這項證明一旦得到充分確認，就能迅速確立數論、幾何學和理論計算機科學中大量相關結果的數學地位。
這也是准黎曼猜想的價值所在：即使它沒有解決完整的黎曼猜想，也可能為許多其他問題提供此前缺少的理論依據。
不過，證明的正確性、證明的形式化驗證，以及數學界對證明的完整理解，是彼此相關卻並不完全相同的事情。較短版本已經得到研究人員的積極評價，但截至《量子雜誌》報導發表時，它尚未完成形式化驗證，相關數學家也仍在梳理細節。
此外，OpenAI公布的論文數量在原報導中存在一處值得注意的差異：文章開頭稱公司在10月6日宣布了377項結果，後文則稱當天發布了722篇論文。無論採用哪個數字，報導都指出，較短的准黎曼猜想證明是其中唯一經過人工編輯的論文。
OpenAI沒有回應《量子雜誌》關於編輯者身份以及為何只有這篇論文經過人工編輯的具體詢問，只表示論文是公司全體人員共同工作的成果。
這項細節也凸顯了AI生成數學成果的現實挑戰：機器能夠給出複雜的推導，但成果能否被同行理解、檢查和納入數學知識體系，仍然需要人類專家投入工作。
那麼，這項成果能否成為證明完整黎曼猜想的跳板？
對此，數論學家並不樂觀。
普林斯頓大學數學家威爾·索溫（Will Sawin）認為，數學家即使充分吸收了新方法並研究清楚其後果，也很可能仍然覺得，完整的黎曼猜想與自己之間的距離和過去差不多。
但他也承認，自己並不確定事情一定會如此發展。
曼徹斯特大學數學家托馬斯·布盧姆（Thomas Bloom）同樣認為，完整的黎曼猜想依然難以企及。不過，他提醒說，就在幾周前，數學家們對準黎曼猜想也抱有類似的判斷。
這正是這項成果引發關注的原因之一。
它沒有解決數學界最著名的未解難題，卻證明了一個此前被認為難以攻克的弱化版本；它沒有提出一套全新的理論，卻找到了冷門數學對象與已有定理之間的關鍵聯繫。
接下來，數學家需要弄清楚這套方法還能走多遠。它能否進一步收緊非平凡零點的範圍，甚至最終觸及實部為1/2的那條直線，目前都沒有答案。
但至少有一點已經改變：數學家此前認為不足以證明准黎曼猜想的工具，現在被證明能夠做到這件事。對於一個困擾數學界160多年的問題而言，這已經是一項實質性的進展。
參考資料
KonstantinKakaes. AI Proved the Quasi-Riemann Hypothesis. What Happens Now? Quanta Magazine, October19,2026. https://www.quantamagazine.org/ai-proved-the-quasi-riemann-hypothesis-what-happens-now-20261019
來源：金色財經
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